本课提供了指数函数 \( a^x \)（其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)）导数的完整证明。我们还利用链式法则推导了复合指数函数 \( a^{u(x)} \) 的求导公式，并提供了经典例题。
\( a^x \) 导数的证明
令：
\[ y = a^x, \qquad a > 0, \; a \neq 1 \]两边取自然对数：
\[ \ln y = \ln(a^x) \]利用对数恒等式 \( \ln(a^x) = x \ln a \)，我们得到：
\[ \ln y = x \ln a \]两边对 \( x \) 求导：
\[ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln a) \]对左侧应用链式法则：
\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a \]两边乘以 \( y \)：
\[ \frac{dy}{dx} = y \ln a \]代入 \( y = a^x \)：
公式：
\[ \frac{d}{dx}\left(a^x\right) = (\ln a)\,a^x \]
复合函数 \( y = a^{u(x)} \) 的导数
令 \( u = u(x) \)。根据链式法则：
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = \frac{d(a^u)}{du} \frac{du}{dx} \]利用前面的结果：
\[ \frac{d(a^u)}{du} = (\ln a)a^u \]因此：
链式法则公式：
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = (\ln a)\,a^{u(x)}\,\frac{du}{dx} \]
经典例题与解答
例题：求复合指数函数的导数
求下列函数的导数：
- \( f(x) = 2^{-x^4+5x-4} \)
- \( g(x) = 3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
- \( h(x) = 5^{\frac{2x}{3x+2}} \)
解答：
-
令 \( u(x) = -x^4 + 5x - 4 \)。则 \( \frac{du}{dx} = -4x^3 + 5 \)。
应用公式： \[ f'(x) = (\ln 2)\,2^{-x^4+5x-4}(-4x^3+5) \] -
令 \( u(x) = \sqrt{x^4+2x} \)。则 \( \frac{du}{dx} = \frac{4x^3+2}{2\sqrt{x^4+2x}} = \frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \)。
应用公式： \[ g'(x) = (\ln 3)\,3^{\sqrt{x^4+2x}}\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \] - 令 \( u(x) = \frac{2x}{3x+2} \)。使用商法则： \[ \frac{du}{dx} = \frac{2(3x+2) - 2x(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x}{(3x+2)^2} = \frac{4}{(3x+2)^2} \] 应用公式： \[ h'(x) = (\ln 5)\,5^{\frac{2x}{3x+2}}\frac{4}{(3x+2)^2} \]